Supermatma.pl

Ciąg arytmetyczny.

Definicja (ciąg liczbowy): Ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych nazywamy dowolną funkcję oznaczamy a_n = f(n), dla n = 1, 2, 3, ...

Definicja (ciąg arytmetyczny). Ciąg liczbowy (a_n) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista r, że dla każdego n (w przypadku gdy ciąg jest nieskończony), lub dla każdego n ² k - 1 (gdy ciąg jest skończony k-wyrazowy, k ³ 3) zachodzi 

 .

Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny jest rosnący jeśli r > 0, ciąg arytmetyczny jest malejący jeśli r < 0, ciąg arytmetyczny jest ciągiem stałym jeśli r = 0.

Jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego a₁ i jego różnicę r, to przy pomocy wzoru potrafimy obliczyć dowolny n-ty wyraz tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym prawdziwa jest zależność

.

(Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego i ostatniego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich)

Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczamy za pomocą wzoru

.

Zauważmy, że jeśli wstawimy w powyższym wzorze za a_n wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymamy

.

Czyli jeśli znamy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego a₁ i jego różnicę r, to sumę ciągu arytmetycznego możemy policzyć z powyższego wzoru.