Zadanie 11: Wszystkie liczby naturalne ustawione w porządku rosnącym podzielono na następujące grupy: (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), .... . Obliczyć sumę liczb występujących w n-tej grupie.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że w każdej n- tej grupie ( n > 2 ) liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy r = 4 - 3 = 1,
Z kolei ostatnie liczby w każdej grupie 1, 3, 6,
10, 15, ... , tworzą ciąg
, czyli każdy wyraz ciągu an jest sumą szeregu
, sumę taką obliczamy ze wzoru
,
(czyli a1 = 1, an
= n,) otrzymujemy
Czyli ostatnim wyrazem w n- tej grupie jest
.
W każdej n- tej grupie jest n wyrazów, każdy
poprzedni wyraz jest mniejszy od następnego o 1, zatem
pierwszym wyrazem w n- tej grupie jest
.
Możemy już obliczyć sumę wszystkich wyrazów w n- tej grupie,
skorzystamy ze wzoru ,
w n- tej grupie jest n wyrazów, mamy
Zatem sumą wszystkich liczb w n- tej grupie jest liczba
