Zadanie 9: Wyznaczyć 5 ciągów arytmetycznych, w którym iloraz wyrazu dwudziestego i wyrazu dziesiątego jest równy 2 oraz iloraz wyrazu o wskaźniku równym 21 i wyrazu o wskaźniku równym 3 jest równy 7.
Rozwiązanie:
Niech an oznacza n-ty wyraz szukanego ciągu (an). (Czyli a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu (an) )
Z warunków zadania wynika, że
.
Korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym
postaci
możemy napisać
Wstawiając powyższe wartości do układu równań otrzymujemy
Zatem wszystkie ciągi arytmetyczne, które spełniają warunek
spełniają
również warunek
.
Wypiszmy 5 takich ciągów:
Ciąg 1: r = a1 = 1, czyli mamy ciąg 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... .
Ciąg 2: r = a1 = 2, czyli mamy ciąg 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16 ... .
Ciąg 3: r = a1 = 3, czyli mamy ciąg 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 ... .
Ciąg 4: r = a1 = 5, czyli mamy ciąg 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 ... .
Ciąg 5: r = a1 = 10, czyli mamy ciąg 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 ... .