Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |




Zadanie 13:  Udowodnij, że zachodzi nierówność ln x x - 1 dla x > 0.
Rozwiązanie:
Poprzednie zadanie
Następne zadanie

Dowód polega na skonstruowaniu funkcji, która osiąga maksimum w pewnym punkcie, okaże się, że to maksimum jest największą wartością skonstruowanej funkcji w całym zbiorze określoności funkcji czyli dla x > 0, zatem równanie funkcji będziemy mogli ograniczyć wartością funkcji w punkcie maksimum i stąd otrzymamy wzór, który mamy udowodnić.

Konstruując funkcję przenosimy zmienną x na lewą stronę i podejrzewamy, że tak otrzymana funkcje będzie ograniczona liczbą -1, mamy funkcję  f(x) = ln x - x.

Stąd f(x) = x-1 - 1.

Zatem

Mnożymy nierówność obustronnie przez x > 0 i otrzymujemy  f (x) > 0 dla 1 > x.

 

Mnożymy nierówność obustronnie przez x > 0 i otrzymujemy dla x > 1 f (x) < 0, czyli  f (x) < 0 dla x >1 .

Policzmy  f (1) = 0.

Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji został spełniony, bo f(1) = 0.

Pochodna zmienia znak przechodząc przez punkt x0 = 1 z plusa na minus, zatem warunek dostateczny istnienia ekstremum został spełniony, czyli funkcja ma w punkcie x0 = 1 maksimum, ponieważ dla x >1 funkcja jest malejąca (f (x) < 0), w przedziale ( 0, 1 ] rośnie do punktu x0 = 1, w którym osiąga maksimum, czyli w punkcie x0 = 1 funkcja osiąga wartość największą, zatem

f(x) f(1).

 Stąd  f(1) = ln (1) - 1 = - 1,  czyli  ln x - x ² - 1.

Zatem  ln x x - 1 co należało udowodnić.


 © Copyright 2021 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.