Supermatma.pl
MATEMATYKA
Dowód polega na skonstruowaniu funkcji, która osiąga maksimum w pewnym punkcie, okaże się, że to maksimum jest największą wartością skonstruowanej funkcji w całym zbiorze określoności funkcji czyli dla x > 0, zatem równanie funkcji będziemy mogli ograniczyć wartością funkcji w punkcie maksimum i stąd otrzymamy wzór, który mamy udowodnić.
Konstruując funkcję przenosimy zmienną x na lewą stronę i podejrzewamy, że tak otrzymana funkcje będzie ograniczona liczbą -1, mamy funkcję f(x) = ln x - x.
Stąd f ’(x) = x-1 - 1.
Zatem
Mnożymy nierówność obustronnie przez x > 0 i otrzymujemy f ’(x) > 0 dla 1 > x.
Mnożymy nierówność obustronnie przez x > 0 i otrzymujemy dla x > 1 f ’(x) < 0, czyli f ’(x) < 0 dla x >1 .
Policzmy f ’(1) = 0.
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji został spełniony, bo f’(1) = 0.
Pochodna zmienia znak przechodząc przez punkt x0 = 1 z plusa na minus, zatem warunek dostateczny istnienia ekstremum został spełniony, czyli funkcja ma w punkcie x0 = 1 maksimum, ponieważ dla x >1 funkcja jest malejąca (f ’(x) < 0), w przedziale ( 0, 1 ] rośnie do punktu x0 = 1, w którym osiąga maksimum, czyli w punkcie x0 = 1 funkcja osiąga wartość największą, zatem
f(x) f(1).
Stąd f(1) = ln (1) - 1 = - 1, czyli ln x - x ² - 1.
Zatem ln x x - 1 co należało udowodnić.
© Copyright 2021 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.