Ekstremum funkcji

Teoria. (Strona 2)

Twierdzenie ( Lagrange`a o wartości średniej ): Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , a < b , a, b i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, wówczas istnieje punkt c taki, że

.

Wnioski z twierdzenia Lagrange`a:

Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą i określoną w przedziale domkniętym i różniczkowalną w przedziale otwartym , to

a) funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale jeśli dla  ,

b) funkcja jest ściśle malejąca w przedziale jeśli  dla  ,

c) funkcja jest stała  w przedziale   jeśli dla dla  .

Za pomocą tych wniosków możemy badać monotoniczność funkcji .

Uwaga: Powyższe wnioski są prawdziwe jeśli przedział na którym funkcja jest określona jest domknięty, lub nie jest domknięty, skończony, lub nieskończony.