Supermatma.pl

 
Zadanie 5: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

Przekształcamy ciąg do postaci, w której będziemy mogli skorzystać ze wzoru, jeśli . Szukamy takiego x dla którego

.

Czyli

 .

Zatem

Korzystając ze wzoru  , jeśli mamy

.

Do obliczenia granicy naszego ciągu wykorzystamy twierdzenie o trzech ciągach. Można pokazać, że ciąg jest ściśle rosnący zatem , czyli możemy napisać

.

 Czyli

Obliczamy granicę . Dzielimy licznik i mianownik wyrażenia w potędze przez najwyższą potęgę zmiennej n z mianownika, czyli przez n³ otrzymujemy

Ciągi na mocy twierdzenia, jeśli jest liczbą rzeczywistą, tosą zbieżne do 0. Zatem

Czyli otrzymaliśmy

Zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach mamy

Co oznacza, że