Supermatma.pl

Zadanie 6: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

Obliczając granicę posłużymy się następującym twierdzeniem

Twierdzenie: Jeżeli dla ciągu (a_n) zachodzi  , gdzie q jest stałą wówczas

                     a) gdy q < 1, to ,

                     b) gdy q > 1, to

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie to wartość bezwzględną możemy opuścić, mamy

Korzystając z definicji n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1, czyli n! = n * (n-1)!, otrzymujemy

Zatem policzymy granicę .

Wykorzystamy wzór , jeśli .

Przekształcamy nasz ciąg do postaci, w której będziemy mogli skorzystać z powyższego wzoru. Szukamy takiego x dla którego

.

Czyli

 .

Zatem

Czyli

Korzystając ze wzoru  , jeśli otrzymujemy

Zatem

Czyli , zatem na mocy przytoczonego na początku rozwiązania zadania twierdzenia mamy