Supermatma.pl

Zadanie 2: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

W liczniku mamy szereg arytmetyczny o różnicy r = 2-1 =1. ( Przypomnijmy, że szereg jest to ciąg sum częściowych ). Skorzystamy ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego, przypomnijmy suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem, gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem postępu arytmetycznego, a a_n jest n-tym wyrazem tego ciągu, zatem

.

W mianowniku mamy ciąg arytmetyczny o różnicy r = 4-2 =2, zatem

.

Wstawiając obliczone sumy ciągów arytmetycznych do granicy, którą mamy policzyć otrzymujemy

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku, czyli dzielimy przez n² mamy

Zatem