Supermatma.pl

Zadanie 9: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

W liczniku mamy szereg geometryczny o ilorazie . Skorzystamy ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, przypomnijmy suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem , gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem postępu geometrycznego, a q jest ilorazem tego ciągu, zatem

.

Wstawiając obliczoną wartość sumy ciągu do granicy otrzymujemy

W liczniku wyłączamy , w mianowniku wyłączamy otrzymujemy

Ciągi są zbieżne do 0, gdyż są ciągami geometrycznymi o ilorazach równych odpowiednio ,

Ciąg jest rozbieżny do , gdyż jest ciągiem geometrycznym o ilorazie zatem

Czyli