Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |

Zadanie 14:  Ile przekątnych ma n-kąt foremny (np. kwadrat, pięciokąt foremny, ... )?

Rozwiązanie:
Poprzednie zadanie
Dalej

Każdą przekątną wielokąta wyznaczają dwa jego wierzchołki, ale dwa wierzchołki mogą wyznaczyć również bok wielokąta. Losujemy 2 wierzchołki ze zbioru n wierzchołków. Od otrzymanej ilości odcinków, które wyznaczają 2 wylosowane wierzchołki odejmujemy ilość tych odcinków, które pokrywają się z bokami wielokąta i otrzymamy szukaną ilość przekątnych wielokąta.

Losujemy 2 wierzchołki ze zbioru n elementowego wierzchołków, ponieważ kolejność losowania nie jest istotna ( dwa wierzchołki tworzą tą samą prostą, bez względu na to który został wylosowany jako pierwszy, czyli zamieniając ze sobą dwa wylosowane wierzchołki otrzymamy tą samą prostą ),

nie możemy wylosować dwa razy tego samego wierzchołka, czyli losujemy bez powtórzeń, mamy zatem dwu-elementowe kombinacje ze zbioru n elementowego, takich kombinacji jest: .

Musimy jeszcze od ilości wszystkich losowań wierzchołków odjąć ilość tych sposobów losowań wierzchołków,  które nie tworzą przekątnych, a które tworzą boki n-kąta, czyli musimy odjąć ilość n boków n-kąta: 

.

 © Copyright 2009 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.