Niezależność zdarzeń i aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.
Zadanie 1: Trzy zdarzenia A, B, C Ì Ω są takie, że: C Ì (A∩B),
P(A) = 0,7, P(C) = 0,2, P(A ∩B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1.
Obliczyć:
a) P(B),
b) Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa ze zdarzeń A, B, C zachodzi,
c) Prawdopodobieństwo tego, że dokładnie jedno ze zdarzeń zachodzi.
Rozwiązanie:
Zadanie 2: Załóżmy, że zdarzenia A i B są niezależne wykazać, że niezależne są zdarzenia A i B.
Rozwiązanie:
Zadanie 3: Rzucamy n razy monetą, oznaczmy zdarzenia: A = {wypadła co najwyżej jedna reszka},
B ={wypadł co najwyżej jeden orzeł i co najwyżej jedna reszka}. Pokazać, że zdarzenia A i B
a) nie są niezależne dla n = 2 i n = 4,
b) są niezależne dla n = 3.
Rozwiązanie:
Zadanie 4: Załóżmy, że niezależne są zdarzenia A i B1 oraz A i B2 udowodnić, że jeśli zdarzenia
a) A i (B1 ∩ B2) są niezależne, to niezależne są zdarzenia A i (B1
B2),b) A i (B1
B2) są niezależne,
to niezależne są zdarzenia A i (B1 ∩ B2).Rozwiązanie:
Zadanie 5: Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω składa się z czterech zdarzeń Ω = {w1, w2, w3, w4, }, oraz
niech P(wi) = 0,25 dla i = 1, 2, 3, 4. Ai = {w1, wi} dla i = 2, 3, 4. Zbadać, czy zdarzenia A2, A3, A4 są
a) niezależne parami,
b) niezależne
Rozwiązanie:
Zadanie 6: Załóżmy, że zdarzenia A i B są zdarzeniami niezależnymi, pokazać, że zdarzenia A i B są niezależne?
Rozwiązanie:
Zadanie 7: Trzy zdarzenia A, B, C Ì Ω są takie, że: C Ì (A∩B),
P(A) = 0,7, P(C) = 0,2, P(A ∩B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1.
Obliczyć:
a) P(B),
b) Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa ze zdarzeń A, B, C zachodzi,
c) Prawdopodobieństwo tego, że dokładnie jedno ze zdarzeń zachodzi.
Rozwiązanie:
Zadanie 8: Załóżmy, że zdarzenia A i B są niezależne wykazać, że niezależne są zdarzenia A i B.
Rozwiązanie:
Zadanie 9: Rzucamy n razy monetą, oznaczmy zdarzenia:
A = {wypadła co najwyżej jedna reszka},
B ={wypadł co najwyżej jeden orzeł i co najwyżej jedna reszka}. Pokazać, że zdarzenia A i B
a) nie są niezależne dla n = 2 i n = 4,
b) są niezależne dla n = 3.
Rozwiązanie:
Zadanie 10: Trzy zdarzenia A, B, C Ì Ω są takie, że: C Ì (A∩B),
P(A) = 0,7, P(C) = 0,2, P(A ∩B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1.
Obliczyć:
a) P(B),
b) Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa ze zdarzeń A, B, C zachodzi,
c) Prawdopodobieństwo tego, że dokładnie jedno ze zdarzeń zachodzi.
Rozwiązanie:
Zadanie 11: Załóżmy, że zdarzenia A i B są niezależne wykazać, że niezależne są zdarzenia A i B.
Rozwiązanie:
Zadanie 12: Rzucamy n razy monetą, oznaczmy zdarzenia: A = { wypadła co najwyżej jedna reszka },
B ={ wypadł co najwyżej jeden orzeł i co najwyżej jedna reszka}. Pokazać, że zdarzenia A i B
a) nie są niezależne dla n = 2 i n = 4,
b) są niezależne dla n = 3.
Rozwiązanie:
Zadanie 13: Trzy zdarzenia A, B, C Ì Ω są takie, że: C Ì (A∩B),
P(A) = 0,7, P(C) = 0,2, P(A ∩B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1.
Obliczyć:
a) P(B),
b) Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa ze zdarzeń A, B, C zachodzi,
c) Prawdopodobieństwo tego, że dokładnie jedno ze zdarzeń zachodzi.
Rozwiązanie: