Zadanie 1: Trzy zdarzenia A, B, C Ì Ω są takie, że: C Ì (A∩B),
P(A) = 0,7, P(C) = 0,2, P(A ∩B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1.
Obliczyć:
a) P(B),
b) Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej dwa ze zdarzeń A, B, C zachodzi,
c) Prawdopodobieństwo tego, że dokładnie jedno ze zdarzeń zachodzi.
Rozwiązanie:
Ad a) Korzystamy ze wzoru P(A
B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B). Stąd
P(B) = P(AB)
- P(A) + P(A∩B).
Z treści zadania mamy P(A) = 0,7,
P(A ∩ B) = 0,3, czyli musimy znaleźć P(A
B).
Ponieważ P(A)= 1 - P(A) dla każdego A Ì Ω (Aksjomat b) w teorii definicji prawdopodobieństwa), to możemy zapisać, że
P(AB) = 1 - P((A
B)`).
(Uwaga: Używamy wymiennie oznaczeń A =A`)
Korzystając teraz z prawa de Morgana dla zbiorów , że
A ∩ B =
(A
B)`mamy
P((A
B)`) = P((A ∩ B)).
Z treści zadania mamy, że P((A ∩ B)) =0,1.