Zadanie 2: Załóżmy, że zdarzenia A i B są niezależne wykazać, że niezależne są zdarzenia A i B.
Rozwiązanie:
Wiemy, że P(A) * P(B) = P(A ∩ B). Mamy wykazać, że
P(A)
* P(B) = P(A
∩ B).
Korzystając z następującego prawa de Morgana dla zbiorów A ∩ B
=(A
B)` mamy
P(A ∩ B)
= P((A
B)`)= 1 - P(A
B).
Korzystając z aksjomatu P(A
B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) otrzymujemy
1 - P(AB)=1-[P(A)+P(B)-P(A∩B)] = 1-P(A)-P(B)+P(A∩ B).
Ponieważ zdarzenia A i B są niezależne, to
P(A) * P(B) = P(A ∩ B), to otrzymujemy
1- P(A) - P(B) + P(A ∩ B) = 1- P(A) - P(B) + P(A) * P(B).
Wyłączamy przed nawias najpierw P(A) później 1- P(A) piszemy
1- P(A) - P(B) + P(A) * P(B) = 1 - P(B) - P(A)* (1 - P(B)) = (1 - P(B)) * (1 -P(A)).
Z aksjomatów prawdopodobieństwa wiemy, że
1 - P(B) = P(B) i (1 -P(A)) = P(A).
Czyli
(1 - P(B)) * (1 -P(A)) = P(A) * P(B), co należało dowieść.
Dla przejrzystości zapisu przepiszmy jeszcze raz wszystkie obliczenia
P(A∩B)=P((AB)`)
=1-P(AB)=1-[P(A)+P(B)-P(A ∩ B)] =
=1-P(A) - P(B) + P(A) * P(B) =1- P(B) - P(A)* (1 - P(B)) =
= (1 - P(B)) * (1 -P(A)) = P(A) * P(B).