Zadanie 3: Rzucamy n razy monetą, oznaczmy zdarzenia: A = {wypadła co najwyżej jedna reszka},
B ={wypadł co najwyżej jeden orzeł i co najwyżej jedna reszka}. Pokazać, że zdarzenia A i B
a) nie są niezależne dla n = 2 i n = 4,
b) są niezależne dla n = 3.
Rozwiązanie:
Ad a) Dla n = 2. Za każdym razem, gdy rzucamy monetą możemy mieć jeden z dwóch wyników: możemy wyrzucić orła lub reszkę. Dla dwukrotnego rzutu monetą mamy 2 * 2 różnych wyników.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {(o, r ), (r, o), (r, r), (o, o)}. Zdarzenie (o, r) oznacza, że w pierwszym rzucie wyrzucono orła, a w drugim rzucie wyrzucono reszkę.
A = {(o, o), (o, r), (r, o)}, B = {(o, r), (r, o)} . Zatem
P(A) = 3/4. P(B) = 2/4. P(A)*P(B) = 3/8.
(A ∩ B) = {( o, r ), ( r, o )} = B. P(A ∩ B) =2/4.
Zatem P(A)*P(B) = 3/8
P(A ∩ B) =2/4.
Czyli zdarzenia A i B nie są niezależne dla n= 2.
Dla n = 4 mamy Ω = {(o, o, o, r), (o, o, r, o), (o, r, o, o), (r, o, o, o), (o, o, r, r), (r, r, o, o),
(r, o, o, r), (o, r, r, o), (o, r, r, r), (r, o, r, r), (r ,r ,o ,r),
(r, r ,r, o), (r, r, r, r), (o, o, o, o), (o, r, o, r), (r, o, r, o)},