Zadanie 3: Rzucamy n razy monetą, oznaczmy zdarzenia: A = {wypadła co najwyżej jedna reszka},
B ={wypadł co najwyżej jeden orzeł i co najwyżej jedna reszka}. Pokazać, że zdarzenia A i B
a) nie są niezależne dla n = 2 i n = 4,
b) są niezależne dla n = 3.
Rozwiązanie, strona 2:
A = {(o, o, o, o), (r, o, o, o), (o, r, o, o), (o, o, r, o),
(o, o,
o, r)}. P(A) = 5/16
B = Ω \ {(o, o, o, o), (r, r, r, r)}. P(B) = 14/16.
(A ∩ B) = {(r, o, o, o), (o, r, o, o),(o, o, r, o), (o, o, o, r)}.
P(A ∩ B) = 4/16 =1/4.
Zatem
P(A) * P(B) = 5/16 * 14/16
P(A ∩ B) = 4/16 =1/4.
Czyli dla n = 4 zdarzenia A i B nie są niezależne.
Ad b) Dla n = 3.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {(o, o, o), (o, o, r), (r, o, o), (o, r, o), (r, r, r), (r, r, o), (r, o, r), (o, r, r)}.
A ={(r, o, o ), (o, r, o), (o, o, r), (o, o, o)},
B ={(o, o, r),(r, o, o),(o, r, o),(r, r, o),(r, o, r),(o, r, r)},
Zauważmy, że = Ω \ {(o, o, o), (r, r, r)}.
P(A) = 4/8. P(B) = 6/8 .
(A ∩ B) = {(r, o, o ), (o, r, o), (o, o, r)}. P(A ∩ B) = 3/8. Zatem
P(A) * P(B) = 4/8 *6/8 = 24/64 = 3/8 = P(A ∩ B).
Zatem zdarzenia A i B są niezależne dla n =3.