Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |
 
Zadanie 11: Ile wyrazów można utworzyć z liter {M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A}?

Rozwiązanie:

Wszystkich możliwych ustawień różnych 10-ciu liter  jest tyle ile wszystkich permutacji ze zbioru 10-cio elementowego czyli 10!.

W naszym zbiorze {M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A} litera A występuje 3 razy, litera M występuje 2 razy i litera T występuje 2 razy. Zatem z punktu widzenia losowania, losowane litery    {A, M, T} mogą się powtarzać. (Przestawiając ze sobą 3 litery A otrzymamy ten sam wyraz oraz przestawiając ze sobą dwie litery M otrzymamy ten sam wyraz, również zamiana miejscami dwóch liter T daje nam ten sam wyraz.)

3 litery A możemy przestawiać ze sobą na 3! sposobów, dwie litery M możemy przestawiać ze sobą na 2! i dwie litery T możemy przestawiać ze sobą na 2!. Czyli na 3! * 2! * 2! sposobów możemy przestawiać ze sobą powtarzające się litery w taki sposób, że za każdym razem otrzymamy ten sam wyraz.

Ponieważ wszystkich przestawień różnych 10-ciu liter jest 10!, to  jeśli podzielimy je przez ustawienia, które dają ten sam wynik losowania 

(zauważmy, że  otrzymaliśmy liczbę 3! * 2! * 2! przez to, że pomnożyliśmy przez siebie ilości wszystkich przestawień powtarzających się liczb i otrzymaliśmy ilość przestawień liczb, które tworzą ten sam wyraz, jeśli podzielimy liczbę 3! * 2! * 2! przez 3!, to nie uwzględnimy przestawień litery A, stąd jeśli podzielimy ilość wszystkich przestawień 10! przez ilość przestawień liter, które tworzą nam ten sam wyraz, to otrzymamy szukaną ilość różnych wyrazów)

otrzymamy: = 151 200 różnych wyrazów.

(Dzielimy ilość wszystkich możliwych uporządkowań zbioru 10-cio elementowego przez iloczyn uporządkowań powtarzających się liter)

Zadanie możemy również rozwiązać wykorzystując wzór na permutacje z powtórzeniami:

Losujemy 10 liter ze zbioru 10-ciu liter, kolejność losowania jest istotna (przestawiając ze sobą dwie dowolne różne litery otrzymamy inny wynik losowania) i niektóre litery zostaną wylosowane więcej niż jeden raz, powtarzają się (litera A powtarza się 3 razy, litera M powtarza się 2 razy i litera T powtarza się 2), mamy zatem permutacje z powtórzeniami ze zbioru 10-cio elementowego. T

Takich permutacji jest: = 151 200.

Odpowiedź: Z liter { M, A, T, E, M, A, T, Y, K, A } można utworzyć 151 200 wyrazów.

Poprzednie zadanie
Następne zadanie

 © Copyright 2009 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.