Supermatma.pl

MATEMATYKA

WITAMY W SERWISIE |

 
Zadanie 12: W grupie n dziewczynek i n chłopców przydzielono miejsca w jednym rzędzie. Ile jest różnych sposobów przydziału miejsc, w których dziewczynki będą siedziały jedna obok drugiej?

Rozwiązanie:

Wszystkich możliwych ustawień n dziewczynek i n chłopców w jednym rzędzie jest ( n + n )! = (2n)!, czyli tyle ile permutacji w zbiorze 2n elementowym.

Dziewczynki mają siedzieć w jednym rzędzie jedna obok drugiej, możliwe mamy następujące układy przydziału miejsc:

( dz, dz, dz, dz,...dz, ch, ch, ch, ch, ..., ch ), gdzie dz oznacza dziewczynkę, a ch oznacza chłopca - n dziewczynek siedzi na pierwszych n miejscach, n chłopców siedzi na pozostałych n miejscach.

( ch, dz, dz, dz, dz,  ... dz, ch, ch, ch,  ..., ch ) - na pierwszym miejscu siedzi chłopiec, następnie siedzi n dziewczynek, za nimi siedi n - 1 chłopców.

( ch, ch, dz, dz, dz, dz,   ... dz, ch, ch, ..., ch) - na pierwszych dwóch miejscach siedzą chłopcy, za nimi siedzi n dziewczynek, za dziewczynkami siedzi n -2 chłopców.

rozpisując tak dalej dojdziemy do sytuacji, w której najpierw siedzi n chłopców, a za nimi siedzą wszystkie dziewczynki, czyli mamy:

( ch, ch, ch, ch, ..., ch, dz, dz, dz, ...,dz ). Zauważmy, że takich układów przydziału miejsc jest  n +1 , to znaczy dziewczynki, które siedzą jedna obok drugiej mogą z chłopcami wymieniać się miejscami na  n  + 1   sposobów, w każdym takim układzie dziewczynki mogą zamieniać się ze sobą miejscami na n! sposobów i chłopcy mogą wymieniać się ze sobą miejscami na n! sposobów.

Zatem wszystkich przydziałów miejsc w jednym rzędzie n dziewczynkom i n chłopcom, w taki sposób, aby dziewczynki siedziały obok siebie jest:  

( n + 1 ) * n! * n! .

Odpowiedź: Różnych sposobów ustawień, w których dziewczynki będą siedziały jedna obok drugiej jest ( n + 1 ) * n! * n!.  

Poprzednie zadanie
Następne zadanie

 © Copyright 2009 by Supermatma.pl. Wszelkie prawa zastrzeżone.