Supermatma.pl

Zadanie 5: Zbadaj różniczkowalność funkcji
Rozwiązanie:  Funkcja na przedziale
( , 1) jest różniczkowalna, (jako funkcja wielomianowa) jej pochodna wyraża się wzorem  . Czyli   dla  x < 1.

Podobnie funkcja  jest różniczkowalna  na przedziale (1, ), oraz , czyli dla x > 1.

Zatem funkcja  f(x) jest różniczkowalna na zbiorze
( , 1)(1, ). Czyli

 

Zbadamy różniczkowalność funkcji  f(x) w punkcie . W tym celu policzymy granice jednostronne funkcji f(x) w punkcie .

Liczymy najpierw granicę lewostronną, skorzystamy ze wzoru , ( ponieważ liczymy pochodną lewostronną w punkcie , to obliczając wyrażenie wykorzystujemy wzór funkcji f(x) dla
x < 1, czyli dla obliczenia wyrażenia wykorzystujemy wzór dla x < 1, pamiętamy, że  dla x = 1, ) mamy