Supermatma.pl

Zadanie 4: Wykazać, że dla dowolnego a  funkcja dana wzorem jest różniczkowalna w punkcie x = 0.

Rozwiązanie, strona 2: 

Liczymy pochodną lewostronną funkcji w punkcie , pamiętamy, że obliczając wyrażenie wykorzystujemy wzór funkcji dla x < 0, czyli dla obliczenia wyrażenia wykorzystujemy wzór  dla x < 0, oraz  dla x = 0, ), mamy

( W ostatniej równości skorzystaliśmy ze wzoru z teorii granic postaci .)

Liczymy pochodną prawostronną funkcji w punkcie , pamiętamy, że obliczając wyrażenie wykorzystujemy wzór funkcji dla x >0, czyli dla obliczenia wyrażenia wykorzystujemy wzór dla x > 0, oraz   dla x = 0), mamy

Czyli  .

Zatem pochodne: lewostronna i prawostronna w punkcie są sobie równe i nie zależą od liczby a, a ponieważ (jak pokazaliśmy) funkcja jest ciągła w punkcie niezależnie od parametru a, to funkcja jest różniczkowalna na , niezależnie od liczby a, co należało udowodnić.