Supermatma.pl

Zadanie 1: Wykorzystując pochodne odpowiedniej funkcji udowodnić, że .

Rozwiązanie: 

Pochodna funkcji stałej jest równa 0, co oznacza, że jeśli policzymy pochodną funkcji i okaże się, że ta pochodna jest równa 0, to funkcja, której pochodną liczymy jest stała, czyli wystarczy policzyć wartość tej funkcji w dowolnym punkcie i ta funkcja będzie przyjmować tą samą wartość we wszystkich punktach swojej dziedziny.

Rozważmy funkcję , liczymy korzystamy ze wzoru na pochodną sumy dwóch funkcji
(), ze wzoru na pochodną funkcji złożonej ( ) oraz wzorów  i   mamy

Ponieważ , zatem funkcja jest funkcją stałą, czyli wystarczy policzyć jej wartość w jednym dowolnym punkcie i tym samym otrzymamy jej wartość w każdym punkcie.

Policzmy wartość funkcji na przykład w punkcie x = 0, czyli

. (Gdyż sin 0 = 0 i cos 0 = 1).

Stąd dla funkcji jako funkcji stałej mamy  , dla x ,

 czyli  co należało wykazać.