Supermatma.pl

Zadanie 10: Wykazać, że dla każdego x > 1 spełniona jest nierówność .

Rozwiązanie: 

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że . Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla x = 1 osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (1, +1), to otrzymamy, że i nierówność będzie udowodniona.

Funkcja   będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy . Policzmy zatem , korzystamy ze wzorów:  ,     i  mamy

Czyli .

Zatem  dla x (1, ), oraz , czyli funkcja jest rosnąca w przedziale [1, ) najmniejszą wartość osiąga dla x =1 .

Zatem , czyli co należało udowodnić.