Supermatma.pl

Zadanie 6:  Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność .
Rozwiązanie: 

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję . Zauważmy, że . Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla osiągnie najmniejszą wartość na przedziale
[0, ), to otrzymamy, że i nierówność będzie udowodniona.
().

Funkcja   będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy . Policzmy zatem f ’(x),

Zatem  dla x , czyli funkcja jest rosnąca, w przedziale [0, ) najmniejszą wartość osiąga dla . Ponieważ , to .

Czyli co należało udowodnić.