Supermatma.pl

Zadanie 7: Wykazać, że dla każdego spełniona jest nierówność:   (e jest stałą Eulera).
Rozwiązanie: 

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

 Zauważmy, że

Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla x = e osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (e, ), to otrzymamy, że

i nierówność będzie udowodniona.

Obliczając pochodną funkcji najpierw skorzystamy ze wzoru na pochodną sumy trzech funkcji , następnie skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji   i ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej () oraz ze wzoru na pochodną logarytmu naturalnego ( ), stąd

Zatem  dla x , czyli funkcja jest rosnąca, w przedziale [e, ) najmniejszą wartość osiąga dla x = e. Ponieważ , to

, czyli  dla x>e, co należało udowodnić.