Supermatma.pl

Zadanie 8: Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność .
Rozwiązanie: 

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że . Jeśli wykażemy, że funkcja jest rosnąca, czyli dla osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (0, ), to otrzymamy, że   i nierówność będzie udowodniona.

Funkcja   będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy . Policzmy zatem , korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej mamy