Supermatma.pl

Prawdopodobieństwo całkowite.

Oznaczemy:

(A|B)             - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A

                       pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B.

Definicja (prawdopodobieństwo warunkowe): Załóżmy, że zdarzenia A, B, ... są podzbiorami tego samego zbioru zdarzeń elementarnych Ω, załóżmy, że P(B) > 0, to prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, nazywany liczbę:

 .

Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całkowitym): Niech zdarzenia A₁, A₂, ... , A_n , (n należy do liczb naturalnych) mają dodatnie prawdopodobieństwa i niech wkluczają się parami ( czyli A_i ∩ A_j = Ø, dla i ≠ j , liczby i ,j należą do liczb naturalnych) oraz niech A₁ A₂ ... A_n = Ω wówczas dla dowolnego zdarzenia B mamy

P(B) = P(B|A₁) * P(A₁) + P(B|A₂) * P(A₂) +                    + P(B|A₃) * P(A₃) + ... + P(B|A_n) * P(A_n).

Zauważmy, że w powyższym twierdzeniu zdarzenia należące do zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Ω spełniają 3 warunki: