Zadanie 9: W pokoju jest 20 par butów. Wybieramy 2 buty: jeden but na lewą nogę drugi but na prawą nogę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
a) wylosowaliśmy dwa lewe buty,
b) wylosowaliśmy dwa buty na tę samą nogę?
Rozwiązanie:
Losujemy dwa buty. Pierwszy but losujemy ze zbioru
2 *
20 = 40
elementowego wszystkich butów na 40 sposobów, drugiego buta wybieramy ze
zbioru 40 - 1 = 39 elementowego rękawic na 17 sposobów. Zatem wszystkich
sposobów wyboru butów jest N(Ω) = 40 * 39 = 1 560.
Ad a) Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano dwa lewe
buty. Wówczas wszystkich butów na lewą nogę jest tyle ile jest par butów czyli
20.
Pierwszego buta losujemy ze zbioru 20-to elementowego na 20 sposobów i
drugiego buta losujemy z pozostałych
20 -1 = 19 butów na lewą nogę na 19
sposobów.
Zatem wszystkich sposobów wyboru dwóch lewych butów jest: N(A) = 18. Stąd
.
Ad b) Niech B oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowaliśmy dwa buty na tę samą nogę. Pierwszy but losujemy ze wszystkich 40-tu butów na 40 sposobów, drugi but losujemy z 20 - 1 = 19 butów na jedną nogę (but drugi losujemy z pozostałych butów na tą samą nogę na którą wylosowano but pierwszy). Zatem wszystkich sposobów wyboru dwóch lewych butów jest N(B) = 40 * 19 = 760.
Czyli
.
Zauważmy, że buty na tę samą nogę możemy również losować następująco: buty na lewą nogę wybieramy na 20 * 19 = 380 sposobów (mamy 20 par butów, czyli mamy 20 butów na lewą nogę, z tego zbioru wybieramy pierwszy but na 20 sposobów i drugi but wybieramy ze zbioru 20 -1 =19 na 19 sposobów,) buty na prawą nogę wybieramy również na 20 * 19 = 380. Zatem buty na tę samą nogę wybieramy na
20 * 19 + 20 * 19 = 2 * 20 * 19 = 760 sposobów.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego, że wylosowaliśmy dwa lewe buty wynosi 0,24. Natomiast prawdopodobieństwo tego, że wylosowaliśmy dwa buty na tę samą nogę wynosi 0,49.