Zadanie 10: Losujemy 10 razy jedną kulę z urny zawierającej 100 kul ponumerowanych od 0 do 99 i za każdym razem wylosowaną kulę wrzucamy z powrotem do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 3 razy wylosujemy kulę, na której będzie liczba pierwsza?
Rozwiązanie:
Wykonujemy ciąg 10-ciu jednakowych doświadczeń (losowanie jednej kuli) i mamy tylko dwa możliwe wyniki doświadczenia: wylosowanie kuli z liczbą pierwszą (sukces ) oraz niewylosowanie kuli z liczbą pierwszą (porażka). Ponieważ każdą wylosowaną kulę z powrotem wrzucamy do urny, to prawdopodobieństwo odniesienia sukcesu w każdym doświadczeniu jest takie samo. Wśród liczb od 0 do 99 liczb pierwszych jest 25, a wszystkich liczb jest 100, zatem prawdopodobieństwo wylosowania kuli, na której jest liczba pierwsza wynosi
p=(25/100)=1/4, czyli q = 1-1/4=3/4.
Stosując schemat Bernoulliego mamy ciąg {S10}10-ciu niezależnych (wynik
wylosowania kuli nie wpływa na wyniki losowania innych kul) doświadczeń ,z
których każde ma jeden z dwóch wyników: sukces z prawdopodobieństwem
p = 0,25
i porażka z prawdopodobieństwem równym
q = 0,75. Wśród tych dziesięciu
losowań mamy dokładnie 3 razy osiągnąć sukces (3 razy wylosować kulę z
liczbą pierwszą).
Mamy:
.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego, że 3 razy wylosujemy kulę, na której będzie liczba pierwsza wynosi 0,25.