Zadanie 6: Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czarne losujemy 7 razy po dwie kule, zwracając za każdym razem wylosowane dwie kule do urny. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wylosowania pary kul o różnych kolorach?
Rozwiązanie:
Losujemy 7 razy po dwie kule, za każdym razem zwracając wylosowane kule do urny, interesuje nas to, czy wylosowane dwie kule są różnokolorowe, zatem w każdym losowaniu kul mamy jeden z dwóch możliwych wyników: wylosowane kule będą różnokolorowe, lub wylosowane kule nie będą różnokolorowe. Za każdym razem, gdy losujemy dwie kule prawdopodobieństwo p wylosowania kul różnokolorowych jest takie samo (po wylosowaniu kul, kule wrzucamy z powrotem do urny) i nie zależy od od tego, jakie kule wcześniej wylosowaliśmy.
Możemy zatem stosować schemat Bernoulliego.
Mamy ciąg 7-miu doświadczeń, w których prawdopodobieństwo sukcesu (wylosowania kul różnokolorowych) wynosi p, które teraz obliczymy stosując wzór na podobieństwo klasyczne.
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano kule różnokolorowe.
Losujemy 2 kule z 7-miu (3 białe plus 4 czarne). Kolejność wylosowanych kul jest nieistotna, (to czy kulę pierwszą wylosujemy białą , a drugą czarną, czy pierwszą wylosujemy kulę czarną, a drugą białą nie ma wpływu na wynik losowania, gdyż w obu przypadkach będziemy mieli jedną białą kulę i jedną czarną). Zatem wszystkich zdarzeń elementarnych Ω jest tyle ile jest dwu-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 7-mio elementowego. Czyli:
N(Ω) =
.
Losujemy jedną kulę czarną i jedną kulę białą, możemy to zrobić na:
N(A) =
.
Zatem:
.
Czyli:
. n = 7, k =3.
Stosując schemat Bernoulliego mamy:
.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo trzykrotnego wylosowania pary kul o różnych kolorach wynosi 0,22.