Supermatma.pl

Zadanie 12: Znaleźć ekstremum lokalne funkcji danej wzorem w przedziale x [1, 8].
Rozwiązanie, strona 2:

Zbadamy warunek dostateczny istnienia ekstremum. Punkty x₁ i x₂ podzieliły przedział (, ) na trzy przedziały        ( ,-), (-,), (,). Ponieważ  x [1, 8], wystarczy, że sprawdzimy znaki pochodnej funkcji w dwóch przedziałach (-,), (,).

Badamy znak pochodnej funkcji w przedziale  (-,), wybieramy dowolną liczbę z przedziału  (-,), np. x = 1 i wstawiamy ją do każdego równania f ’(x), zatem              f ’(1) = 3- 4 = -1 < 0.  Stąd f ’(x) < 0 dla x (-,).

Badamy znak pochodnej funkcji w przedziale (,), wybieramy dowolną liczbę z przedziału (,), np. 2 i wstawiamy ją do  f ’(x), zatem  f ’(2) = 3- 1 = 2 > 0. 

Stąd   f ’(x) > 0 dla x (,) .

Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji  w punkcie .

Pochodna funkcji przy przejściu przez punkt zmienia znak z minusa na plus, co oznacz, że w punkcie     x = funkcja ma minimum lokalne. Funkcja na przedziale [1, 8] nie ma więcej ekstremów lokalnych.