6. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji .

Badam warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli sprawdzam dla jakich punktów z dziedziny funkcji pochodna tej funkcji zeruje się.

Zatem w punkcie x = 0 funkcja może mieć ekstremum, zbadamy warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie  x = 0. (Czyli badamy znaki pierwszej pochodnej funkcji w otoczeniu punktu x = 0.)

. Ponieważ  f ’(x) = 0 dla x = 0, a punkt x = 2 nie należy do dziedziny funkcji , to interesują nas znaki pierwszej pochodnej (w otoczeniu punktu x = 0) w dwóch przedziałach (-1, 0) i   (0, 2).

Badamy znak pochodnej funkcji w przedziale (-1, 0), wybieramy dowolną liczbę z przedziału (-1, 0), np. -1 i wstawiamy ją do każdego członu równania 8x*( 2 - x ), mamy 8*(-1)*( 2 -(-1) ) = 8*(-1)*( 2+1 ) = - 24 < 0.                      Stąd  f ’(x) < 0 dla x (-1, 0).

Czyli  f ’(x) < 0 dla x (-1, 0),  f ’(x) > 0 dla x (0, 2) i warunek dostateczny istnienia ekstremum w punkcie A = (0, 0)  jest spełniony pochodna funkcji f(x) zmienia znak z minusa na plus, zatem funkcja ma w punkcie x = 0 minimum lokalne.