Supermatma.pl

Zadanie 7: Zbadaj przebieg zmienności funkcji  i naszkicuj jej wykres.

Rozwiązanie, strona 2:

5. Obliczenie pochodnej funkcji.

Obliczając pochodną funkcji korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i ze wzoru , mamy

f ’(x) = ( x⁴ + 4x - 2)’ = 4x³ + 4.

6. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności i ekstremów funkcji .

Badam warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, czyli sprawdzam dla jakich punktów z dziedziny funkcji pochodna tej funkcji zeruje się.

.

Zatem f ’(x) = 0 dla x = -1.

Zatem w punkcie x = -1 funkcja może mieć ekstremum, zbadajmy warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie  x = -1. (Czyli badamy znaki Badamy pierwszej pochodnej funkcji w otoczeniu punktu          x = -1)

f ’(x) > 0 , 4x³ + 4 > 0 , x³ + 1 > 0.

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

( a³ + b³ = (a + b )* (a² - ab + b²), mamy

f ’(x) > 0 , (x +1) * (x² - x + 1) > 0.

Ponieważ (x² - x + 1) > 0 ( dla x ), gdyż                    3 = 1 - 4 = -3 < 0, to znak pochodnej funkcji f(x) zależy od znaku wyrażenia (x +1).

Stąd f ’(x) > 0 dla x > -1 i f ’(x) < 0 dla x < -1.

Zatem w punkcie x = -1 warunek dostateczny istnienia ekstremum jest spełniony i funkcja ma w punkcie        x = -1 minimum lokalne. (Pochodna funkcji przy przejściu przez punkt x = -1 zmienia znak z minusa na plus.)

f(-1) = -5.