Supermatma.pl

Badanie przebiegu zmienności funkcji.

Teoria. (Strona 4)

Wnioski z twierdzenia Lagrange`a:

Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą i określoną w przedziale domkniętym i różniczkowalną w przedziale otwartym , to

a) funkcja jest ściśle rosnąca w przedziale jeśli dla  ,

b) funkcja jest ściśle malejąca w przedziale jeśli  dla  ,

c) funkcja jest stała  w przedziale   jeśli dla dla  .

Za pomocą tych wniosków możemy badać monotoniczność funkcji .

Uwaga: Powyższe wnioski są prawdziwe jeśli przedział na którym funkcja jest określona jest domknięty, lub nie jest domknięty, skończony, lub nieskończony.

Zatem: a)  funkcja określona na przedziale ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale rosnąca, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji wewnątrz przedziału (na przedziale otwartym ).

Podobnie piszemy dla funkcji malejącej, lub funkcji stałej:

b) funkcja określona na przedziale ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale malejąca, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji wewnątrz przedziału (na przedziale otwartym )

c ) funkcja określona na przedziale ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale stała, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji wewnątrz przedziału (na przedziale otwartym ).