Zadanie 4: Obliczyć sumę wszystkich liczb mniejszych od 15000, które przy dzieleniu przez 33 dają resztę równą 7.
Rozwiązanie, strona 2:
Zauważmy, że tak utworzone liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy
Mamy obliczyć sumę tych wyrazów ciągu (an), które są mniejsze od 15000. Ponieważ ciąg (an) jest rosnący, to szukamy największy wskaźnik n, który spełnia nierówność 15000 ³ n * 33 + 3, wyraz o tym wskaźniku będzie największą liczbą mniejszą od 15000, która przy dzieleniu przez 33 da resztę 7, zatem
,
Ponieważ wskaźnik n jest liczbą naturalną, to największą
liczbą naturalną spełniającą warunek
jest 45, zatem wyraz
jest ostatnim wyrazem ciągu, którego sumę mamy obliczyć. Czyli mamy
obliczyć sumę ciągu arytmetycznego 7, 40,
73, 106, ..., 1492.
Zauważmy, że pierwszy wyraz ciągu a0 = 7, czyli sumujemy wyrazy od wskaźnika n = 0 do wskaźnika 45, zatem wszystkich liczb, które sumujemy jest 45 + 1 = 46.
Wykorzystamy wzór
,
który z uwagi na fakt, że sumujemy od wskaźnika 0 przyjmie postać
mamy
Odpowiedź: Sumą wszystkich liczb mniejszych od 1000, które przy dzieleniu przez 8 dają resztę równą 3 jest 34 4772.