Zadanie 4: Obliczyć sumę wszystkich liczb mniejszych od 15000, które przy dzieleniu przez 33 dają resztę równą 7.
Rozwiązanie:
Przypomnijmy wzór na dzielenie z resztą:
Dla dwóch liczb całkowitych
a i b
(gdzie b
0) istnieją liczby całkowite
q i r , dla których spełnione
jest równanie
a = qb + r i 0
r < |b| ,
liczbę q nazywa się ilorazem, a liczbę r resztą z
dzielenia a przez b.
W naszym przypadku r jest równe 7, a b = 33, zatem możemy napisać a = 33 * q + 7. Czyli liczba a dzieli się przez liczbę 8 z resztą równą 3.
Z treści zadania wynika, że mamy znaleźć wszystkie liczby a mniejsze od 15000, które przy dzieleniu przez 33 dają resztę 7.
Zauważmy, że jeśli za q będziemy podstawiali we wzorze
a
= 33 * q + 7 kolejne liczby naturalne, to każda utworzona w ten sposób
liczba będzie przy dzieleniu przez 33 dawała resztę równą 7.
Zatem możemy napisać wzór na n-ty wyraz ciągu następująco an = n*
33 + 7 i otrzymujemy liczby dla kolejnych n całkowitych (poczynając od n = 0) postaci
7, 40,
73, 106, ...