Supermatma.pl

Zadanie 10: Znajdź ekstrema funkcji  

Rozwiązanie, strona 2:

Funkcje sin x i cos x są funkcjami okresowymi o okresie 2^. Z kolei funkcje sin 2x i cos 2x są funkcjami okresowymi o okresie ^. Funkcja jest funkcją jest funkcją okresową o okresie ^. Zatem wystarczy zbadać ekstrema funkcji w przedziale [0, ^] i uwzględniając okresowość funkcji otrzymamy ekstrema na całym zbiorze .

W celu określenia ekstremów funkcji policzymy drugą pochodną funkcji w punktach podejrzanych o ekstrema

Czyli w punktach , w przedziale [0, ^] mamy dwa punkty (dla k = 0 i k = 1). Stąd 

Określmy znaki drugiej pochodnej funkcji w punktach podejrzanych o ekstrema

Zatem w punkcie  funkcja ma maksimum lokalne.

Korzystając ze wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych ( sin (^ + J) = - sin J,                    cos (^ + J) = - cos J ) mamy

Zatem w punkcie  funkcja ma minimum lokalne.

Uwzględniając okresowość funkcji mamy maksimum lokalne w punktach i

minimum lokalne w punktach .