Zauważmy, że wartością funkcji jest długość przekątnej, która jest zależna od boku a i stałej p.

Zbadajmy, jaką najmniejszą wartość może przyjąć funkcja w przedziale (0, p), w tym celu zbadamy, czy funkcja   ma ekstrema lokalne. Policzmy pierwszą pochodną funkcji  .

Skorzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej                   ( [f(g(x))]’ =  f ’(g(x)) * g’(x) ) oraz ze wzoru na pochodną funkcji wielomianowej () mamy

Zatem f ’(x) = 0 , 2x - p = 0, czyli .

Zauważmy, że mianownik pochodnej funkcji jest zawsze dodatni (jest pierwiastkiem kwadratowym, który może być tylko dodatni), zatem znak pochodnej zależy tylko od licznika pochodnej funkcji.

Czyli f ’(x) > 0 , 2x - p > 0 , czyli f ’(x) > 0 dla  ,  

f ’(x) < 0 , 2x - p < 0 , czyli f ’(x) < 0 dla .

Warunek konieczny istnienia ekstremum w punkcie   jest spełniony, gdyż ,  pochodna przy przejściu przez punkt  zmienia znak z minusa na plus, zatem warunek dostateczny istnienia ekstremum jest spełniony i  w punkcie mamy minimum lokalne. Funkcja maleje do punktu  , w którym osiąga minimum, a następnie rośnie, zatem to minimum jest najmniejszą wartością funkcji   w przedziale (0, p).

Stąd a = i  b = p - a, czyli

Odpowiedź: Przekątna będzie najkrótsza jeśli .