Ekstremum funkcji

Teoria. (Strona 4)

Warunek konieczny: Jeśli funkcja określona i ciągła na przedziale ma ekstremum w punkcie  , to

.

Czyli jeśli , to w punkcie funkcja może mieć ekstremum lokalne.

Funkcja określona na przedziale może mieć ekstremum lokalne w wielu punktach tego przedziału, chcąc zbadać czy w punkcie funkcja ma ekstremum interesuje nas tylko, to jak zachowuje się funkcja w bliskim sąsiedztwie punktu   (co wynika z definicji lokalnego ekstremum funkcji, badamy tam jak zachowuje się funkcja w pewnym otoczeniu punktu ) dlatego określamy funkcję na pewnym otoczeniu funkcji , gdzie , oczywiście .

Warunek dostateczny (zmiana znaków pochodnej funkcji): Jeśli pochodna funkcji przy przejściu przez punkt x₀ zmienia znak, z plusa na minus, to w punkcie x₀ funkcja  ma maksimum,  jeśli pochodna funkcji przy przejściu przez punkt x₀ zmienia znak, z minusa na plus, to w punkcie x₀ funkcja  ma minimum, jeśli pochodna funkcji przy przejściu przez punkt x₀ nie zmienia znaku, to w punkcie x₀ funkcja  nie ma ekstremum.