Supermatma.pl

 
Zadanie 5: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

W liczniku mamy szereg geometryczny o ilorazie . Skorzystamy ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, przypomnijmy suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem , gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem postępu geometrycznego, a q jest ilorazem tego ciągu, zatem

W mianowniku mamy szereg geometryczny o ilorazie , zatem

Wstawiając obliczone sumy ciągów geometrycznych do granicy, którą mamy policzyć otrzymujemy

Ciągi są zbieżne do 0, gdyż są ciągami geometrycznymi o ilorazach równych odpowiednio .

Zatem

Czyli