Supermatma.pl

Zadanie 6: Obliczyć granicę .
Rozwiązanie:

W liczniku mamy szereg geometryczny o ilorazie . Skorzystamy ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, przypomnijmy suma n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem , gdzie a₁ jest pierwszym wyrazem postępu geometrycznego, a q jest ilorazem tego ciągu, zatem

W mianowniku mamy szereg arytmetyczny o różnicy           r = 2 - 1 = 1, zatem

.

Wstawiając obliczone sumy ciągów do granicy, którą mamy policzyć otrzymujemy

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującą w mianowniku, czyli dzielimy przez n² otrzymujemy

Ciągi są zbieżne do 0, gdyż są ciągami geometrycznymi o ilorazie równym ,

Ciąg jest zbieżny do 0 na mocy twierdzenia, jeśli jest liczbą rzeczywistą, to

Zatem

Czyli