NWD i NWW w zadaniach tekstowych: jak szybko ustalić, którego pojęcia użyć?

NWD czy NWW? Decyduje sens zadania, nie samo słowo w poleceniu

W zadaniach tekstowych o NWD i NWW liczby często wyglądają niemal identycznie: są dwie lub trzy wartości, trzeba wykonać obliczenie, a w treści pojawiają się słowa takie jak „równo”, „wspólnie”, „najmniejszy” albo „największy”. To właśnie dlatego łatwo wybrać niewłaściwe pojęcie. Problem nie polega zwykle na tym, że uczeń nie umie wyznaczyć największego wspólnego dzielnika lub najmniejszej wspólnej wielokrotności. Trudniejszy jest wcześniejszy etap: rozpoznanie, czy dane liczby mają zostać podzielone, czy raczej mają się ponownie „spotkać” w jednym punkcie.

Najprostsza intuicja jest taka: NWD służy do dzielenia istniejących zasobów bez reszty, natomiast NWW służy do szukania pierwszej wspólnej wielkości, chwili albo liczby spełniającej kilka warunków. W pierwszym przypadku coś już mamy: 24 czerwone kartki i 36 niebieskich kartek, 48 metrów wstążki i 60 metrów sznurka, 18 jabłek i 30 gruszek. Trzeba to rozdzielić na równe części. W drugim przypadku nie dzielimy zapasu, lecz szukamy wspólnego punktu: dwa autobusy odjeżdżają w różnych odstępach czasu, dwie lampki migają w różnych rytmach albo przedmioty mają zostać ustawione w rzędy na kilka sposobów.

Dwie sytuacje, które wyglądają podobnie, ale wymagają innych działań

Porównaj dwa krótkie polecenia. Pierwsze: „Z 24 czerwonych i 36 niebieskich balonów trzeba przygotować jak najwięcej jednakowych zestawów, wykorzystując wszystkie balony”. Drugie: „Ile najmniej balonów trzeba kupić, aby można było je rozdzielić zarówno do pudełek po 24, jak i do pudełek po 36?”.

W pierwszej sytuacji balony już istnieją. Szukamy największej liczby identycznych zestawów, więc sprawdzamy, przez jaką największą liczbę można podzielić 24 i 36 bez reszty. To zadanie na NWD. W drugiej sytuacji szukamy najmniejszej liczby balonów, która byłaby jednocześnie podzielna przez 24 i przez 36. To zadanie na NWW.

Liczby są te same, ale sens jest odwrotny. W jednym zadaniu pytamy: „Na ile równych części mogę rozdzielić to, co mam?”. W drugim: „Jaka jest najmniejsza liczba, która spełni oba warunki podzielności?”. Dwa podobne numery w treści nie oznaczają jeszcze, że matematyka zrobiła psikusa. Trzeba sprawdzić relację między tymi liczbami.

Najważniejsza różnica: dzielniki i wielokrotności

Dzielnik to liczba, przez którą można podzielić inną liczbę bez reszty. Na przykład 6 jest dzielnikiem 24, ponieważ 24 : 6 = 4. Jeśli w zadaniu dzielimy 24 i 36 na równe grupy, interesują nas ich wspólne dzielniki: 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Największym z nich jest 12, czyli NWD(24, 36) = 12. ^[1]

Wielokrotność to liczba powstała przez pomnożenie danej liczby przez liczbę naturalną. Wielokrotności 6 to między innymi 6, 12, 18, 24, 30, 36 i tak dalej. Jeżeli szukamy liczby podzielnej jednocześnie przez 24 i 36, interesują nas ich wspólne wielokrotności. Najmniejszą dodatnią z nich jest 72, więc NWW(24, 36) = 72. ^[4]

Warto wyłapać kierunek myślenia. Przy NWD wychodzimy od danych liczb i „schodzimy w dół” do ich wspólnego podziału. Przy NWW wychodzimy od danych liczb i „idziemy w górę”, aż znajdziemy pierwszą wspólną wielokrotność. To nie jest formalna definicja, ale pod presją czasu działa bardzo dobrze.

Słowa „największy” i „najmniejszy” mogą wprowadzać w błąd

W zadaniu na NWW niemal zawsze pojawia się idea najmniejszej liczby lub pierwszego wspólnego momentu. Nie oznacza to jednak, że każde słowo „najmniejszy” automatycznie wskazuje NWW. Zdanie „Jaka jest najmniejsza liczba osób w każdej grupie?” może wymagać NWD, jeśli najpierw trzeba ustalić maksymalną liczbę równych grup.

Podobnie słowo „największy” nie zawsze oznacza NWD. Jeśli zadanie pyta o największą wspólną wielokrotność, byłoby ono źle skonstruowane, ponieważ wspólne wielokrotności nie mają końca. Trzeba więc czytać nie pojedynczy wyraz, ale całe pytanie: co ma być największe albo najmniejsze i jaka zależność ma łączyć liczby?

NWD w zadaniach tekstowych — gdy trzeba podzielić równo i wykorzystać wszystko

Co oznacza największy wspólny dzielnik w języku zadania

Największy wspólny dzielnik dwóch lub większej liczby liczb to największa liczba, przez którą każdą z nich można podzielić bez reszty. W zadaniu tekstowym NWD najczęściej opisuje maksymalną liczbę równych grup, największy rozmiar identycznej części albo najdłuższy możliwy odcinek.

Jeżeli są 42 zeszyty w kratkę i 56 zeszytów w linię, które trzeba rozdzielić do jednakowych pakietów, nie pozostawiając żadnego zeszytu, liczba pakietów musi dzielić zarówno 42, jak i 56. Im więcej pakietów chcemy przygotować, tym większego wspólnego dzielnika szukamy. Największa dopuszczalna liczba pakietów to właśnie NWD(42, 56).

Kluczowy warunek brzmi zwykle: wszystko ma zostać wykorzystane, a części mają być takie same. Jeżeli choć jeden z tych elementów nie występuje, trzeba zachować ostrożność. Można przecież podzielić przedmioty nierówno, można dopuścić resztę albo można utworzyć dowolną liczbę pakietów. Wtedy samo obliczenie NWD nie rozwiązuje sprawy.

Sygnały w treści, które często prowadzą do NWD

W zadaniach egzaminacyjnych NWD często ukrywa się pod zwykłymi, życiowymi sformułowaniami. Nie musi paść nazwa „największy wspólny dzielnik”. Znacznie częściej pojawia się opis sytuacji wymagającej równego podziału.

• „Przygotowano jak najwięcej jednakowych zestawów”.
• „Wszystkie przedmioty mają zostać wykorzystane”.
• „Materiał należy pociąć na najdłuższe równe kawałki bez odpadów”.
• „Należy podzielić uczniów na największą możliwą liczbę identycznych drużyn”.
• „Kwadratowe płytki mają mieć największy możliwy bok i dokładnie pokryć prostokątną powierzchnię”.
• „Trzeba ułożyć identyczne paczki, w których znajdzie się tyle samo elementów każdego rodzaju”.

W każdej z tych sytuacji liczba grup, długość kawałka albo bok płytki musi być wspólnym dzielnikiem danych liczb. Dodatkowe słowo „największy”, „najdłuższy” lub „jak najwięcej” wybiera spośród wszystkich wspólnych dzielników właśnie największy.

Przykład egzaminacyjny z pełnym tokiem rozumowania

Rozważmy zadanie: „Do przygotowania zestawów konkursowych wykorzystano 84 ołówki i 126 gumek. Wszystkie przedmioty mają zostać rozdzielone do jak największej liczby identycznych zestawów. Ile zestawów można przygotować i ile ołówków oraz gumek znajdzie się w każdym zestawie?”

Najpierw trzeba ustalić, czego szukamy. Liczby 84 i 126 opisują istniejące zasoby. Mają zostać podzielone bez reszty na identyczne zestawy. Pytanie brzmi „do jak największej liczby zestawów”, zatem szukamy NWD liczb 84 i 126.

Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

84 = 2² · 3 · 7
126 = 2 · 3² · 7

Wspólne czynniki, zapisane z najmniejszymi wykładnikami, to 2 · 3 · 7. Otrzymujemy: ^[3]

NWD(84, 126) = 42

Można więc przygotować 42 identyczne zestawy. To jednak nie jest jeszcze pełna odpowiedź, ponieważ zadanie pyta również o zawartość pojedynczego zestawu. Wykonujemy dwa dzielenia:

84 : 42 = 2
126 : 42 = 3

Odpowiedź brzmi: można przygotować 42 zestawy, a w każdym znajdą się 2 ołówki i 3 gumki. Kontrola jest prosta: 42 · 2 = 84 oraz 42 · 3 = 126. Wszystkie przedmioty zostały wykorzystane, a każdy zestaw ma identyczną zawartość.

Dwie różne role wyniku NWD

Wynik NWD nie zawsze bezpośrednio odpowiada na końcowe pytanie. Czasem oznacza liczbę grup, ale w innym zadaniu może oznaczać długość jednego fragmentu, bok płytki albo liczbę elementów w pojedynczej części. Z tego powodu po wyznaczeniu NWD trzeba wrócić do treści i sprawdzić jednostkę.

Przykład: „Dwa paski materiału mają długości 72 cm i 96 cm. Należy je pociąć na najdłuższe równe kawałki, bez odpadów. Jaka będzie długość jednego kawałka?” Tutaj NWD(72, 96) = 24. Wynik oznacza długość jednego fragmentu, czyli 24 cm. Nie oznacza liczby kawałków.

Jeżeli zadanie dodatkowo pyta o liczbę wszystkich kawałków, trzeba wykonać dalsze obliczenia: 72 : 24 = 3 oraz 96 : 24 = 4. Łącznie powstanie 7 kawałków. Najczęstszy błąd polega na wpisaniu samego NWD jako odpowiedzi, mimo że pytanie dotyczy innej wielkości.

NWW w zadaniach tekstowych — gdy zdarzenia mają nastąpić razem po raz pierwszy

W zadaniach na NWW nie rozdzielamy gotowego zapasu. Interesuje nas sytuacja, w której kilka procesów przebiega własnym rytmem, a następnie ponownie spotyka się w tym samym momencie. Wynik oznacza wtedy najczęściej czas oczekiwania, numer pierwszego wspólnego terminu albo najmniejszą liczbę elementów spełniającą kilka warunków jednocześnie.

Najważniejsze jest słowo „ponownie”. Jeżeli dwa zdarzenia występują razem na początku, a potem jedno powtarza się co kilka minut, a drugie w innym odstępie, pytanie nie dotyczy chwili początkowej. Trzeba ustalić, po ilu minutach oba rytmy znowu się pokryją.

Cykliczne zdarzenia: autobusy, dzwonki, lampki i treningi

Rozważmy sytuację: dwa autobusy odjeżdżają z tego samego przystanku o godzinie 7:00. Pierwszy odjeżdża co 15 minut, a drugi co 20 minut. O której godzinie oba autobusy odjadą razem po raz pierwszy po godzinie 7:00?

Wspólne odjazdy muszą nastąpić po liczbie minut podzielnej zarówno przez 15, jak i przez 20. Szukamy więc najmniejszej takiej liczby:

15 = 3 · 5
20 = 2² · 5

Do NWW bierzemy wszystkie potrzebne czynniki z największymi wykładnikami:

NWW(15, 20) = 2² · 3 · 5 = 60

Autobusy ponownie odjadą razem po 60 minutach, czyli o 8:00. Warto zauważyć, że liczba 60 nie oznacza liczby autobusów ani liczby kursów. Jest to czas, który musi upłynąć od wspólnego startu.

Tak samo analizuje się zadania o syrenach uruchamiających się co określony czas, lampkach migających w różnych odstępach, zajęciach odbywających się w określonych dniach albo sportowcach trenujących według różnych harmonogramów. Zawsze warto zadać sobie pytanie: po jakim najmniejszym czasie wszystkie cykle znów znajdą się w tym samym punkcie?

Gdy wynik NWW jest liczbą przedmiotów, a nie czasem

NWW pojawia się także wtedy, gdy trzeba znaleźć najmniejszą liczbę elementów możliwą do ustawienia lub podzielenia na kilka różnych sposobów. Wyobraźmy sobie polecenie: „Ile najmniej krzeseł należy przygotować, aby można było ustawić je w pełne rzędy po 6, po 8 lub po 9 krzeseł?”

Liczba krzeseł ma być podzielna przez 6, przez 8 i przez 9. Nie mamy żadnego istniejącego zapasu, którego nie wolno zmarnować. Poszukujemy dopiero najmniejszej liczby spełniającej trzy warunki.

Rozkłady na czynniki pierwsze wyglądają następująco:

6 = 2 · 3
8 = 2³
9 = 3²

Potrzebujemy trzech czynników 2 i dwóch czynników 3, dlatego:

NWW(6, 8, 9) = 2³ · 3² = 72

Najmniejsza liczba krzeseł wynosi 72. Można z nich utworzyć 12 rzędów po 6 krzeseł, 9 rzędów po 8 krzeseł albo 8 rzędów po 9 krzeseł. Każdy wariant wykorzystuje wszystkie krzesła, ale sens zadania jest inny niż przy NWD: nie dzielimy konkretnej liczby 72 na części, tylko właśnie ustaliliśmy, jaka liczba ma spełniać kilka warunków podzielności. ^[2]

„Pierwszy wspólny moment” trzeba odczytać dokładnie

W zadaniach czasowych łatwo pomylić moment startu z pierwszym momentem po starcie. Jeśli dwa zegary wybijają godzinę dokładnie o 12:00, jeden co 10 minut, a drugi co 25 minut, to wspólny sygnał występuje już o 12:00. Gdy jednak pytanie brzmi: „Po jakim czasie znów zabrzmią jednocześnie?”, należy pominąć chwilę początkową i obliczyć NWW.

Dobrym uzupełnieniem tego tematu jest także poradnik: Egzamin maturalny: jak wykorzystać tablice matematyczne?.

W tym przykładzie:

NWW(10, 25) = 50

Zegary ponownie zabrzmią razem po 50 minutach, czyli o 12:50. Zapis „po 50 minutach” i zapis „o 12:50” odpowiadają na różne formy pytania, dlatego warto dopasować odpowiedź do treści polecenia.

Trzeba też pilnować jednostek. Jeżeli jedno zdarzenie powtarza się co 2 godziny, a drugie co 45 minut, przed obliczeniem należy zapisać oba odstępy w tej samej jednostce. Dwie godziny to 120 minut, więc szukamy NWW liczb 120 i 45, a nie próbujemy łączyć godzin z minutami bez przeliczenia.

Najmniejsza liczba spełniająca kilka warunków

Czasami treść nie wspomina ani o zegarze, ani o powtarzających się zdarzeniach. Mimo to sens nadal może prowadzić do NWW. Przykładowo: „Jaka jest najmniejsza liczba uczniów, którą można ustawić w pełne grupy po 4, po 5 i po 7 osób?”

Szukana liczba musi być jednocześnie wielokrotnością 4, 5 i 7. Obliczamy:

NWW(4, 5, 7) = 140

Najmniejsza taka liczba to 140 uczniów. Można ich podzielić na 35 czwórek, 28 piątek albo 20 grup siedmioosobowych. Nie oznacza to oczywiście, że każdorazowo tworzymy wszystkie te podziały naraz. Chodzi o to, że liczba 140 pozwala na każdy z nich bez pozostawienia reszty.

W tego typu zadaniach szczególnie ważne jest określenie „najmniejsza”. Bez niego rozwiązań byłoby nieskończenie wiele: 280, 420 czy 560 także spełniają warunki. NWW wybiera pierwszą dodatnią liczbę, od której zaczyna się cała lista poprawnych możliwości.

Szybki test decyzyjny: dzielenie zasobu czy szukanie wspólnego momentu?

Gdy treść zadania wydaje się niejednoznaczna, nie trzeba od razu wykonywać rozkładów na czynniki pierwsze. Najpierw warto zatrzymać się przy tym, co opisują dane liczby. Czy są to ilości rzeczy, które już istnieją i mają zostać rozdzielone? Czy może określają odstępy, wielkości grup lub warunki, które ma spełnić dopiero szukana liczba?

Jeżeli liczby opisują zapas — na przykład liczbę owoców, długości materiałów albo wymiary powierzchni — trzeba sprawdzić, czy zadanie wymaga podziału bez reszty na identyczne części. Jeśli tak, wynik ma być wspólnym dzielnikiem tych danych liczb, zwykle największym możliwym.

Jeżeli natomiast liczby opisują rytmy, rozmiary rzędów, pojemności pudełek albo liczby osób w grupach, a pytanie dotyczy pierwszego wspólnego przypadku, potrzebna jest wspólna wielokrotność. Wtedy szukana liczba ma być podzielna przez wszystkie liczby podane w zadaniu.

Jedno pytanie, które porządkuje większość zadań

Pomocne jest krótkie przeformułowanie treści własnymi słowami:

Czy mam podzielić to, co już mam, czy znaleźć najmniejszą liczbę albo czas, który pasuje do wszystkich warunków?

W pierwszej części pytania kryje się zwykle NWD. W drugiej — NWW. To rozróżnienie działa także wtedy, gdy zadanie jest zapisane bardziej formalnie i nie zawiera codziennych przykładów.

Można to sprawdzić na dwóch podobnych zdaniach. „Jest 45 zielonych i 75 żółtych naklejek. Należy przygotować maksymalną liczbę identycznych arkuszy” prowadzi do NWD, ponieważ dzielimy istniejące naklejki. Natomiast „Jaka jest najmniejsza liczba naklejek, którą można rozłożyć w arkuszach po 45 albo po 75?” prowadzi do NWW, ponieważ poszukujemy liczby podzielnej przez oba rozmiary arkuszy.

Kontrola wyniku przed zapisaniem odpowiedzi

Po obliczeniu warto wykonać krótką kontrolę sensu. Przy zadaniu na NWD wynik powinien dzielić każdą liczbę z treści bez reszty. Jeśli otrzymana liczba nie dzieli któregoś zapasu, długości lub wymiaru, rozwiązanie nie może być poprawne.

Przy NWW wynik powinien być podzielny przez każdą z danych liczb. Dobrze również sprawdzić, czy nie da się znaleźć mniejszej dodatniej liczby spełniającej wszystkie warunki. To szczególnie ważne przy obliczeniach z trzema liczbami, gdzie łatwo przez przypadek pomnożyć za dużo czynników.

Ostatni etap to interpretacja. Wynik może oznaczać minuty, dni, liczbę uczniów, liczbę krzeseł, długość odcinka albo liczbę paczek. Samo poprawne wyznaczenie NWD lub NWW jest kluczowe, ale pełna odpowiedź powinna jeszcze powiedzieć, co ta liczba oznacza w konkretnej sytuacji.

Zadania pozornie podobne, ale wymagające innego działania

Ten sam przedmiot może występować zarówno w zadaniu na NWD, jak i na NWW. O wyborze nie decyduje więc to, czy mowa o uczniach, pudełkach, autobusach lub naklejkach, lecz rola liczb w opisie sytuacji.

Załóżmy, że szkoła ma 54 czerwone koszulki i 81 białych koszulek. Jeśli trzeba przygotować jak największą liczbę jednakowych kompletów, wykorzystując wszystkie koszulki, szukamy NWD. Liczba kompletów nie może być większa niż wspólny dzielnik obu zapasów.

Inaczej wygląda polecenie: „Jaka jest najmniejsza liczba koszulek, którą można rozłożyć do pudeł po 54 albo po 81 sztuk?” Tutaj liczby 54 i 81 nie opisują zapasu do rozdzielenia. Określają dwa możliwe rozmiary pełnych pudeł, a szukana liczba ma pasować do obu wariantów. Potrzebne będzie więc NWW.

Warto zwracać uwagę na to, czy liczby z treści są czymś, co należy podzielić, czy czymś, przez co ma być podzielny wynik. To niewielka różnica w zapisie, ale całkowicie zmienia metodę rozwiązania.

Gdy zadanie zawiera więcej niż dwa warunki

Zarówno NWD, jak i NWW można stosować dla trzech lub większej liczby wartości. W takich zadaniach szczególnie łatwo zgubić sens obliczeń, dlatego dobrze jest najpierw zapisać, co musi spełniać odpowiedź.

Przykład z cyklami: trzy fontanny włączają się odpowiednio co 12, 18 i 30 minut. Jeżeli uruchomiły się jednocześnie, szukamy czasu, po którym wszystkie trzy ponownie będą działały w tej samej chwili. Wynik musi być podzielny przez 12, 18 oraz 30.

Rozkłady mają postać:

12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²
30 = 2 · 3 · 5

Najmniejszy wspólny czas wynosi:

NWW(12, 18, 30) = 2² · 3² · 5 = 180

Fontanny spotkają się ponownie po 180 minutach, czyli po 3 godzinach. W tym przypadku sam wynik 180 jest poprawny matematycznie, ale odpowiedź pełna powinna uwzględniać jednostkę czasu.

Przy NWD dla kilku liczb zasada kontroli jest odwrotna: otrzymany wynik powinien dzielić każdą wartość z zadania. Jeśli na przykład planujemy podzielić kilka rodzajów materiałów na równe fragmenty, długość jednego fragmentu musi pasować do każdego materiału bez pozostawienia odpadu.

Uwaga na pytanie o liczbę grup i liczbę elementów w grupie

W zadaniach na NWD często pojawiają się dwie liczby, które można ze sobą pomylić. NWD może oznaczać maksymalną liczbę identycznych zestawów, ale po dalszych obliczeniach można też ustalić, ile elementów każdego rodzaju znajduje się w jednym zestawie.

Jeżeli na przykład dostępne są 63 bilety ulgowe i 105 biletów normalnych, a organizator chce przygotować maksymalną liczbę jednakowych pakietów, to:

NWD(63, 105) = 21

Oznacza to możliwość przygotowania 21 pakietów. Jednak zawartość pojedynczego pakietu trzeba policzyć osobno:

63 : 21 = 3
105 : 21 = 5

Jeden pakiet zawiera więc 3 bilety ulgowe i 5 normalnych. Gdy polecenie pyta o skład pakietu, odpowiedzią nie będzie samo 21, mimo że NWD zostało obliczone prawidłowo.

Podobna ostrożność przydaje się przy NWW. Jeśli wynik oznacza czas do wspólnego zdarzenia, a w pytaniu podano godzinę rozpoczęcia, trzeba jeszcze dodać wyliczony czas. Jeśli wynik oznacza liczbę przedmiotów, warto sprawdzić, czy zadanie nie pyta dodatkowo o liczbę rzędów, pudeł albo grup.

Dlaczego nie warto wybierać działania „na oko”

Niektóre zadania zawierają jednocześnie zwroty sugerujące maksimum, minimum, równość lub podzielność. Samo zauważenie jednego z nich nie wystarcza. Na przykład wyrażenie „najmniejsza liczba” może prowadzić do NWW, ale tylko wtedy, gdy szukana liczba ma spełniać kilka warunków podzielności. Z kolei „największa liczba” może prowadzić do NWD, gdy chodzi o największy możliwy równy podział istniejących zasobów.

Najpewniejsza metoda polega na zapisaniu warunku w prostszej formie. Przy NWD odpowiedź ma być liczbą, przez którą dzielą się wszystkie dane wartości. Przy NWW odpowiedź ma być liczbą, która dzieli się przez wszystkie dane wartości. Różni się jedynie kierunek tej zależności, lecz właśnie on pozwala uniknąć pomyłki.

Jeżeli po zapisaniu rozwiązania nadal trudno określić, co oznacza wynik, warto wrócić do zdania pytającego. To ono rozstrzyga, czy należy podać liczbę zestawów, długość odcinka, liczbę osób, czas oczekiwania czy konkretną godzinę zdarzenia.

Źródła

• [1] Coddy – NWD czy NWW? – Pre-Algebra ↑
• [2] MatFiz24.pl – NWD i NWW w szkole podstawowej i nie tylko. Największy Wspólny Dzielnik i Najmniejsza Wspólna Wielokrotność ↑
• [3] Matematyka.org.pl – NWW i NWD – zadania egzamin ósmoklasisty CKE ↑
• [4] Zintegrowana Platforma Edukacyjna – 7. NWD, NWW – Zbiory liczbowe ↑