Supermatma.pl

Zadanie 2: Dla jakiej wartości parametru a funkcja dana wzorem  ma minimum lokalne w punkcie x = 1.

Rozwiązanie: 

Jeżeli funkcja ma ekstremum w punkcie to .

Policzymy pochodną funkcji, stosujemy wzór mamy

Zatem 

Równanie kwadratowe ma miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy . Zatem

Z warunków zadania wiemy, że w punkcie x = 1 funkcja ma mieć ekstremum lokalne, zatem jednym z pierwiastków równania jest liczba 1. Stąd mamy

Rozwiązując pierwsze równanie  , mamy

Rozwiązując drugie równanie , mamy sprzeczność (liczba ujemna nie może być równa liczbie dodatniej)

Zatem dla funkcja może mieć w punkcie ekstremum, sprawdźmy, czy jest to minimum, (sprawdzimy, czy spełniony jest warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji ).