Supermatma.pl

Zadanie 2: Dla jakiej wartości parametru a funkcja dana wzorem  ma minimum lokalne w punkcie x = 1.
Rozwiązanie, strona 2: 

Wiemy, że dla pochodna funkcji jest równa .

Obliczamy . Zatem

Powyższe punkty dzielą przedział na trzy przedziały .

Ponieważ interesuje nas ekstremum w punkcie x = 1, to wystarczy, że zbadamy znaki pochodnej funkcji w dwóch przedziałach .

Badamy znak pochodnej funkcji w przedziale , wybieramy dowolną liczbę z przedziału , np. 0 i wstawiamy ją do , mamy

Zatem   dla x . 

Badamy znak pochodnej funkcji w przedziale , wybieramy dowolną liczbę z przedziału , np. 0 i wstawiamy ją do , mamy

Stąd   dla x . 

Zatem

  dla x   oraz   dla x .

Przechodząc przez punkt x = 1 pochodna zmienia zna z minusa na plus, czyli warunek dostateczny istnienia ekstremum jest w tym punkcie spełniony i funkcja ma minimum lokalne w punkcie x = 1.

Odpowiedź: Funkcja ma minimum lokalne w punkcie      x = 1 dla a =-9.